习题解答例题1(习题7.3):
习题解答例题1(习题7.3):
发布时间：2026-01-25 19:42:09
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答案：解:(1)根据电子气体
费米能级的定义式(7.44)求得
温度为室温时, Na的费米能级的近似值由式(7.55)有
(2) 取1mol的电子,此时电子比热近似值由(7.57)式有
例题2(习题7.4和7.5):解:(1) 单位时间内碰到单位面积的器壁上的电子数,由式(6.87)为(在这儿:为电子的平均速率)
(此式适用于一切理想气体)由式(6.20)并考虑到电子的简并度,则在体积V内,动量绝对值在
到范围内电子的状态数为
又考虑到绝对零度下电子气体中电子动量的分布为其中
为费米动量,也即绝对零度时电子的动量,这样电子的平均动量为
所以电子的平均速率为(习题7.5)由式(7.45),费米动量有所以(2) 由内能的热力学微分方程有由上式可得,在温度不变时,则有由式(7.46)有
例题3(习题7.6)解:由式(6.20)并考虑到电子的简并度,在体积V内,动量绝对值在到范围内,自由粒子的可能的状态数为(参考上题)考虑到在相对论下,有
,这样结合上式可得在体积V内,在
到能量范围内量子态数为
又考虑到绝对零度下电子气体的分布为
费米能级由下式决定
即可得到在绝对零度下相对论理想气体的费米能级为
在绝对零度下相对论理想气体的内能也即总能量为
例题4(习题7.13)解:(1)如果粒子可分辨,令其分别为a和b则有(2)如果粒子不可分辨,但不受Pauling原理限制,
(对于Bose分布,粒子数占据能级的可能性有六种(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) )(3)粒子不可分辨且服从Pauling原理(对于Fermi分布,粒子数占据能级的可能性有三种(0,1),(0,2), (1,2))例题5(习题7.14)解:在单位体积中其动量在间隔的状态数为其中,所以
当时
其中,
,所以
注:
例题6(习题7.15)解:(1)首先判别该电子气服从哪种统计由第132页式(6.73)可知
则由第150页式(7.12)和(7.14)可得,当非简并性条件满足时,Bose分布和Fermi分布过渡到Boltzmann分布。所以在本题中的电子气体服从Boltzmann统计分布,这时自由电子的能量与动量的关系为由能量均分定理可知(2)此电子气可视为经典的理想气体,所以其物态方程为
费米能级的定义式(7.44)求得温度为室温时, Na的费米能级的近似值由式(7.55)有 (2) 取1mol的电子,此时电子比热近似值由(7.57)式有例题2(习题7.4和7.5):解:(1) 单位时间内碰到单位面积的器壁上的电子数,由式(6.87)为(在这儿:为电子的平均速率) (此式适用于一切理想气体)由式(6.20)并考虑到电子的简并度,则在体积V内,动量绝对值在到范围内电子的状态数为又考虑到绝对零度下电子气体中电子动量的分布为其中为费米动量,也即绝对零度时电子的动量,这样电子的平均动量为所以电子的平均速率为(习题7.5)由式(7.45),费米动量有所以(2) 由内能的热力学微分方程有由上式可得,在温度不变时,则有由式(7.46)有例题3(习题7.6)解:由式(6.20)并考虑到电子的简并度,在体积V内,动量绝对值在到范围内,自由粒子的可能的状态数为(参考上题)考虑到在相对论下,有,这样结合上式可得在体积V内,在到能量范围内量子态数为又考虑到绝对零度下电子气体的分布为费米能级由下式决定即可得到在绝对零度下相对论理想气体的费米能级为在绝对零度下相对论理想气体的内能也即总能量为例题4(习题7.13)解:(1)如果粒子可分辨,令其分别为a和b则有(2)如果粒子不可分辨,但不受Pauling原理限制,(对于Bose分布,粒子数占据能级的可能性有六种(0,0),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,2) )(3)粒子不可分辨且服从Pauling原理(对于Fermi分布,粒子数占据能级的可能性有三种(0,1),(0,2), (1,2))例题5(习题7.14)解:在单位体积中其动量在间隔的状态数为其中,所以当时其中,,所以注:例题6(习题7.15)解:(1)首先判别该电子气服从哪种统计由第132页式(6.73)可知则由第150页式(7.12)和(7.14)可得,当非简并性条件满足时,Bose分布和Fermi分布过渡到Boltzmann分布。所以在本题中的电子气体服从Boltzmann统计分布,这时自由电子的能量与动量的关系为由能量均分定理可知(2)此电子气可视为经典的理想气体,所以其物态方程为
