级数学分析(1)试题(A卷)参考答案
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发布时间：2025-06-27 22:23:40
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答案：参考答案 一、叙述题(每题5分共20分) 二、计算题 1. 设liman?a,求liman。 n??nn??解 取?0满足0??0?a,liman?a知,?N?N?,当n?N时, n??a??0?an?a??0 从而 nnna??0?an?a??0 nnn??n??上式两边取极限并利用结论limc?1(c?0为常数)和迫敛性得liman?1。 2.求曲线x?1?t2,y?t?t2在t?1对应点的切线方程。 解 因为 x???2t,y??1?2t, 所以当t?1时,x?0,y?0;x???2,y???1。 那么切线方程为 x?0y?0?即x?2y?0 ?2?1 或 dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时,x?0,y?0,故切线方程是 1? 2t?1y?0?3.求limx?01(x?0) 2tanx?sinx。 3sinx12x?xtanx?sinxtanx(1?cosx)12?lim解 lim。 ?lim?x?0x?0x?0sin3xsin3xx32 第1页,共6页 或 tanx?sinxtanx?sinx 01?cos3x0 lim?limlim2 332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x 03cos2xsinx10 ?limlim? 2x?0x?03x6x2或 11????x?x3?o(x3)???x?x3?o(x3)??tanx?sinx33!???? lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1 ?lim2?x?0x32 4.求f(x)?2x3?x4的极值。 解 f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0,得稳定点x?0,2323 23(,??) 2- ↘ x f?(x) f(x) 或 (??,0) ↗ 0 0 无极值 3(0,) 2 ↗ 3 20 极大值27/16 3f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0,得稳定点x?0, 22又 f??(x)?12x?12x?12x(1?x),f???(x)?12(1?2x) f??(0)?0,f???(0)?0,所以f在x?0不取极值。 33327f??()??9?0,所以f在x?取极大值f()?。 22216三、证明题 1.设 an?1?111????,n?1,2,?,证明数列?an?收敛。 2232n2第2页,共6页 证 显然?an?递增,下证?an?有上界。事实上, an?1?111???? 2232n2?1?111 ????1?22?3(n?1)n1??1??11??1?1??1???????????? ?2??23??n?1n??2?1?2,n?1,2,?。 n于是单调有界定理,?an?收敛。 或 an?p?an??111???? 222(n?1)(n?2)(n?p)111111??????? n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)n(n?p)nCauchy准则,易知?an?收敛。 2. 设f(x)在(??,??)连续,且limf(x),limf(x)都存在。证明f(x)在(??,??)上 x???x???一致连续。 证 因为limf(x)存在,Cauchy准则可知,???0,?X1?0,当x?,x???X1时, x???有 f(x??)?f(x?)??。 (1) 又limf(x)存在,?X2?0,当x?,x???X2时,有 x???f(x??)?f(x?)??。 (2) 另一方面f在[X1?1,X2?1]上连续,所以在[X1?1,X2?1]一致连续。于是即对上述?,???(0,1),当x?,x???[X1?1,X2?1],且x???x???就有 f(x??)?f(x?)??。 (3) 第3页,共6页 这样,当x?,x???(??,??),且x???x???时, (i) 若x?,x???X1,(1)式,f(x??)?f(x?)??; (ii) 若x?,x???X2,(2)式,f(x??)?f(x?)??; (iii) 若x??[X1,X2]或x???[X1,X2],则x?,x???[X1?1,X2?1] (3)式,f(x??)?f(x?)??。 根据定义,即得f(x)在(??,??)上一致连续。 或 承上,f在(??,X1],[X1,X2],[X2,??)都是一致连续的,书上例题结论 f(x)在(??,??)上一致连续。 3. 设limg(x)???,而limf(u)?A,证明 x?x0u???x?x0limf[g(x)]?A。 证 limf(u)?A,???0,?G?0,当u?G时,有 u???f(u)?A?? limg(x)???,对上面G,???0,当0?x?x0??时,有 x?x0g(x)?G 综上,???0,???0,当0?x?x0??,有 f[g(x)]?A?? 即 limf[g(x)]?A x?x01?x2?xsin,x?0?4. 设f(x)??2 x?0,x?0?求导函数f?(x); 证明f?(x)在点x?0不连续; 证明f(x)在点x?0的任何邻域不单调。 第4页,共6页 证 (1) f?(0)?limx?01?1f(x)?f(0)?1?lim??xsin?? x?02x?2x?0?,x?0 1?1?2xsinx?cos??2x?f(x)??1???2(2) 因为lim?法)lim?,x?01?1?1?2xsinx??,而 limcos不存在,易知(用反证 x?02x?0x??21??1?2xsinx?cos?不存在。所以f?(x)在点x?0不连续; x?02x??事实上,取 ??xn11????0,xn?0(n??) ?2n?2n??2limcosn??11?1,limcos?0 n?????xnxn归结原则limcosx?01不存在。 x(3) f?(x)在x?0的任何邻域都不能保持相同符号。 事实上,对一切正整数k有 f?(而lim?11?13)???0,f?()??0 2k?22k???2?1?1?lim?0。故f在x?0的任何邻域内都不单调。 k??2k?k??2k???h?arctanh?h,其中h?0。 1?h25. 证明不等式: 证 设f(x)?arctanx,则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件, 于是???(0,h),使得 arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?因为0???h,所以 第5页,共6页 h 1??2hh??h 1?h21??2从而 h?arctanh?h。 1?h26. 设f(x)在[a,b]具有二阶导数,且f??(x)?0,证明对[a,b]内任意n个点x1,x2,?,xn有不等式 ??f(x)?f(??x) iiiii?1i?1nn其中?i?0(i?1,2,?,n),n??i?1ni?1。 证 记x???x,Taylor展开 iii?1f(xi)?f(x)?f?(x)(xi?x)?f??(?i)(xi?x)2?f(x)?f?(x)(xi?x) 上式两边乘?i再求和 ??f(x)?f(x)???f?(x)??(x?x) iiiii注意到 ??(x?x)???x?x???x?x?0, iiiii于是 ??f(x)??f(x) ii 第6页,共6页 hh??h 1?h21??2从而 h?arctanh?h。 1?h26. 设f(x)在[a,b]具有二阶导数,且f??(x)?0,证明对[a,b]内任意n个点x1,x2,?,xn有不等式 ??f(x)?f(??x) iiiii?1i?1nn其中?i?0(i?1,2,?,n),n??i?1ni?1。 证 记x???x,Taylor展开 iii?1f(xi)?f(x)?f?(x)(xi?x)?f??(?i)(xi?x)2?f(x)?f?(x)(xi?x) 上式两边乘?i再求和 ??f(x)?f(x)???f?(x)??(x?x) iiiii注意到 ??(x?x)???x?x???x?x?0, iiiii于是 ??f(x)??f(x) ii 第6页,共6页 参考答案 一、叙述题(每题5分共20分) 二、计算题 1. 设liman?a,求liman。 n??nn??解 取?0满足0??0?a,liman?a知,?N?N?,当n?N时, n??a??0?an?a??0 从而 nnna??0?an?a??0 nnn??n??上式两边取极限并利用结论limc?1(c?0为常数)和迫敛性得liman?1。 2.求曲线x?1?t2,y?t?t2在t?1对应点的切线方程。 解 因为 x???2t,y??1?2t, 所以当t?1时,x?0,y?0;x???2,y???1。 那么切线方程为 x?0y?0?即x?2y?0 ?2?1 或 dyy?(t)1?2t??dxt?1x?(t)t?1?2t当t?1时,x?0,y?0,故切线方程是 1? 2t?1y?0?3.求limx?01(x?0) 2tanx?sinx。 3sinx12x?xtanx?sinxtanx(1?cosx)12?lim解 lim。 ?lim?x?0x?0x?0sin3xsin3xx32 第1页,共6页 或 tanx?sinxtanx?sinx 01?cos3x0 lim?limlim2 332x?0x?0x?0sinxx3xcosx1?cos3x 03cos2xsinx10 ?limlim? 2x?0x?03x6x2或 11????x?x3?o(x3)???x?x3?o(x3)??tanx?sinx33!???? lim?limx?0x?0sin3xx313x?o(x3)1 ?lim2?x?0x32 4.求f(x)?2x3?x4的极值。 解 f?(x)?6x?4x?2x(3?2x)?0,得稳定点x?0,2323 23(,??) 2- ↘ x f?(x) f(x) 或 (??,0) ↗ 0 0 无极值 3(0,) 2 ↗ 3 20 极大值27/16 3f?(x)?6x2?4x3?2x2(3?2x)?0,得稳定点x?0, 22又 f??(x)?12x?12x?12x(1?x),f???(x)?12(1?2x) f??(0)?0,f???(0)?0,所以f在x?0不取极值。 33327f??()??9?0,所以f在x?取极大值f()?。 22216三、证明题 1.设 an?1?111????,n?1,2,?,证明数列?an?收敛。 2232n2第2页,共6页 证 显然?an?递增,下证?an?有上界。事实上, an?1?111???? 2232n2?1?111 ????1?22?3(n?1)n1??1??11??1?1??1???????????? ?2??23??n?1n??2?1?2,n?1,2,?。 n于是单调有界定理,?an?收敛。 或 an?p?an??111???? 222(n?1)(n?2)(n?p)111111??????? n(n?1)(n?1)(n?2)(n?p?1)(n?p)n(n?p)nCauchy准则,易知?an?收敛。 2. 设f(x)在(??,??)连续,且limf(x),limf(x)都存在。证明f(x)在(??,??)上 x???x???一致连续。 证 因为limf(x)存在,Cauchy准则可知,???0,?X1?0,当x?,x???X1时, x???有 f(x??)?f(x?)??。 (1) 又limf(x)存在,?X2?0,当x?,x???X2时,有 x???f(x??)?f(x?)??。 (2) 另一方面f在[X1?1,X2?1]上连续,所以在[X1?1,X2?1]一致连续。于是即对上述?,???(0,1),当x?,x???[X1?1,X2?1],且x???x???就有 f(x??)?f(x?)??。 (3) 第3页,共6页 这样,当x?,x???(??,??),且x???x???时, (i) 若x?,x???X1,(1)式,f(x??)?f(x?)??; (ii) 若x?,x???X2,(2)式,f(x??)?f(x?)??; (iii) 若x??[X1,X2]或x???[X1,X2],则x?,x???[X1?1,X2?1] (3)式,f(x??)?f(x?)??。 根据定义,即得f(x)在(??,??)上一致连续。 或 承上,f在(??,X1],[X1,X2],[X2,??)都是一致连续的,书上例题结论 f(x)在(??,??)上一致连续。 3. 设limg(x)???,而limf(u)?A,证明 x?x0u???x?x0limf[g(x)]?A。 证 limf(u)?A,???0,?G?0,当u?G时,有 u???f(u)?A?? limg(x)???,对上面G,???0,当0?x?x0??时,有 x?x0g(x)?G 综上,???0,???0,当0?x?x0??,有 f[g(x)]?A?? 即 limf[g(x)]?A x?x01?x2?xsin,x?0?4. 设f(x)??2 x?0,x?0?求导函数f?(x); 证明f?(x)在点x?0不连续; 证明f(x)在点x?0的任何邻域不单调。 第4页,共6页 证 (1) f?(0)?limx?01?1f(x)?f(0)?1?lim??xsin?? x?02x?2x?0?,x?0 1?1?2xsinx?cos??2x?f(x)??1???2(2) 因为lim?法)lim?,x?01?1?1?2xsinx??,而 limcos不存在,易知(用反证 x?02x?0x??21??1?2xsinx?cos?不存在。所以f?(x)在点x?0不连续; x?02x??事实上,取 ??xn11????0,xn?0(n??) ?2n?2n??2limcosn??11?1,limcos?0 n?????xnxn归结原则limcosx?01不存在。 x(3) f?(x)在x?0的任何邻域都不能保持相同符号。 事实上,对一切正整数k有 f?(而lim?11?13)???0,f?()??0 2k?22k???2?1?1?lim?0。故f在x?0的任何邻域内都不单调。 k??2k?k??2k???h?arctanh?h,其中h?0。 1?h25. 证明不等式: 证 设f(x)?arctanx,则f在[0,h]上满足Lagrange中值定理的条件, 于是???(0,h),使得 arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)?因为0???h,所以 第5页,共6页 h 1??2hh??h 1?h21??2从而 h?arctanh?h。 1?h26. 设f(x)在[a,b]具有二阶导数,且f??(x)?0,证明对[a,b]内任意n个点x1,x2,?,xn有不等式 ??f(x)?f(??x) iiiii?1i?1nn其中?i?0(i?1,2,?,n),n??i?1ni?1。 证 记x???x,Taylor展开 iii?1f(xi)?f(x)?f?(x)(xi?x)?f??(?i)(xi?x)2?f(x)?f?(x)(xi?x) 上式两边乘?i再求和 ??f(x)?f(x)???f?(x)??(x?x) iiiii注意到 ??(x?x)???x?x???x?x?0, iiiii于是 ??f(x)??f(x) ii 第6页,共6页
