求由曲线y=x2,直线y=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
求由曲线y=x2,直线y=x所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
发布时间：2024-10-26 22:19:21
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答案：[解析] 曲线y=x2与直线y=x所围成的图形如图中阴影部分.
设所得旋转体的体积为V,根据图像可以看出V等于直线y=x,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y=x2,直线x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2).因为V1=
πx2dx=
=
×(13-03)=
,V2=
π(x2)2dx=π
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-
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.[点评] 求旋转体的体积时,要先画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用定积分求解,本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的.
设所得旋转体的体积为V,根据图像可以看出V等于直线y=x,x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线y=x2,直线x=1与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2).因为V1=πx2dx==×(13-03)=,V2=π(x2)2dx=πx4dx==,所以V=V1-V2=-=.[点评] 求旋转体的体积时,要先画出平面图形,分析旋转体的形状,再利用定积分求解,本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的.
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