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平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2-n 2个区域．

发布时间：2025-07-06 01:17:34

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答案：证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12-1 2=2，命题成立．（2）假设n=k（k≥1）时，命题成立，即k个圆把平面分成k2-k 2个区域．当n=k 1时，第k 1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k 1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2-k 2 2k=（k 1）2-（k 1） 2个区域．∴n=k 1时，命题也成立．由（1）、（2）知，对任意的n∈N*，命题都成立．

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