https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/doc/pic/item/96dda144ad3459827f264a550bf431adcaef844d.jpg已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，经
A、
C、D三点的圆交AB于F（如图）．求证：F为△CDE的内心．
证明：证法1：如图，连DF，则由已知，∵∠CDF=∠CAB=45°=
∠CDE，∴DF为∠CDE的平分线，连BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，得FB=FD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是∠ECD的平分线．∵F是△CDE上两条角平分线的交点，∴就是△CDE的内心．证法2：同证法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后，由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四点共圆．连EF，在证得∠FBD=∠FDB之后，立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分线．本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂．由这个证明可知，F是△DCB的外心．∠CDF=∠CAB=45°=
∠CDE，知DF是∠CDE的平分线，故F是△CDE的内心．
证法3：如图，只证CF为∠DCE的平分线．由∠AGC=∠GBA ∠GAB=45° ∠2，∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB ∠1=45° ∠1得∠1=∠2．从而∠DCF=∠GCF，得CF为∠DCE的平分线．证法4：首先DF是∠CDE的平分线，故△CDE的外心I在直线DF上．现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d，则直线AB是一次函数y=-x d①的图象（如图）．若记内心I的坐标为（x1，y1），则x1 y1=CH IH=CH HB=CB=d
满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点．由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为Rt△CDE的内心．还可延长ED交⊙O于P1，而CP为直径来证．
