https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/doc/pic/item/d01373f082025aaf3dbf04e2f3edab64034f1a0d.jpg如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点：（1）求直线BE与A1C所成的角的余弦值；（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．
https://bgk-photo.cdn.bcebos.com/doc/pic/item/d01373f082025aaf3dbf04e2f3edab64034f1a0d.jpg如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点：（1）求直线BE与A1C所成的角的余弦值；（2）在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由．
发布时间：2025-04-04 19:26:16
解：（1）以B为原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为AC=2a，∠ABC=90°，所以AB=BC=
a所以B（0，0，0），C（0，
a，0），A（
a，0，0），A1（
a，0，3a），C1（ 0，
a，3a），B1（0，0，3a），D（
），E（
）
，
，则cos＜
＞=
所以直线BE与A1C所成的角的余弦值
（6分）（2）假设存在点F，使CF⊥平面B1DF，不妨设AF=b，则F（
），
（9分）所以
解之得b=a或b=2a，所以当AF=a或2a时，CF⊥平面B1DF（12分）
