如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE=∠B．A: 求证：CE是半圆的切线；B: 若CD=10，tanB=2/3，求半圆的半径．
如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上，∠DCE=∠
B、
A、 求证：CE是半圆的切线；
B、 若CD=10，tanB=2/3，求半圆的半径．
发布时间：2025-05-09 08:15:52
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答案：a: 连接OC， ∵AB是半圆的直径，AC是半圆的弦，∴∠ACB=90°，∵点D在弦AC的延长线上，∴∠DCB=180°-∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCE=90°，∵OC=OB，∴∠BCO=∠B，∵∠DCE=∠B，∴∠BCO+∠BCE=90°，即：∠OCE=90°，∴CE⊥OC，∵点C在半圆上，∴CE是半圆的切线；B 如图1，在Rt△ABC中，tanB=2/3，设AC=2k，则BC=3k，根据勾股定理得，AB=√13k，∴sinB=AC/AB=(2√13)/13，∵OD⊥AB，∴∠D+∠A=90°，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠D=∠B，∴sinD=sinB=(2√13)/13，在Rt△CDF中，sinD=CF/DF=(2√13)/13，∴cosB=(3√13)/13，设CF=2m，则DF=√13m，根据勾股定理得，DF2-CF2=CD2，∴13m2-4m2=100，∴m=-10/3（舍）或m=10/3，∴CF=20/3，在Rt△BOF中，BF=OB/cosB=13/6k，∴BC=BF+CF=13/6k+20/3=3k，∴k=8，∴OB=√13/2k=4√13.
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