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①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论； ②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF ∥ AC，交CE的延长线与点F．求证：AB垂直平分DF．

①如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，
E、
F、G、H分别是AD，BD，BC，AC的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论； ②如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF ∥ AC，交CE的延长线与点
F、求证：AB垂直平分D
F、

发布时间：2025-03-15 20:05:29

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答案：①（1）证明： ∵E、F分别是AD、BD中点， ∴EF ∥ AB，EF= 1 2 AB，同理GH ∥ AB，GH= 1 2 AB， ∴EF=GH，EF ∥ GH，∴四边形EFGH是平行四边形．（2）当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱形．证明：F、G分别是BD、BC中点，所以GF= 1 2 CD， ∵AB=CD，∴EF=GF 又∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． ②证明：∵∠ACB=90°，Rt△ADC中，∠1 ∠2=90°， ∵AD⊥CF，在Rt△EDC中，∠3 ∠2=90°，得：∠1=∠3． ∵FB ∥ AC，∠ACB=90°，∴∠FBC=90°，得：△FBC是直角三角形． ∵AC=BC，∠1=∠3，△FBC是直角三角形 ∴Rt△ADC≌Rt△FBC． ∴CD=FB，已知CD=DB，可得：DB=FB．由AC=BC、∠ACB=90°，可得：∠4=45°，AB是∠CBF平分线．所以，AB垂直平分DF（等腰三角形中的三线合一定理）．