已知函数f(x)=ln(1+x)x．
已知函数f(x)=ln(1+x)x．
发布时间：2025-06-14 05:50:38
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答案：（1）由已知函数求导得f′(x)=xx+1-ln(1+x)x2设g(x)=xx+1-ln(1+x)，则g′(x)=1(x+1)2-1x+1=-x(x+1)2＜0∴g（x）在（0，+∞）上递减，g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0，因此f（x）在（0，+∞）上单调递减．（2）由h（x）=xf（x）-x-ax3可得，h（x）=ln（1+x）-x-ax3h′(x)=1x+1-1-3ax2=-x(3ax2+3ax+1)x+1若a≥0，任给x∈（0，+∞），1x+1-1＜0，-3ax2＜0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，2）上单调递减，则f（x）在（0，2）无极值；若a＜0，h（x）=x•f（x）-x-ax3在（0，2）上有极值的充要条件是φ（x）=3ax2+3ax+1在（0，2）上有零点，∴φ（0）•φ（2）＜0，解得a＜-118综上所述，a的取值范围是（-∞，-118）．
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