在曲线y=1-x2（x≥0，y≥0）上找一点（x0，y0），过此点作一切线与x轴、y轴围成一个三角形．（1）求三角形面积S的最小值及相应的x0；（2）当三角形面积达到最小值时，求此三角形的外接圆方程．
在曲线y=1-x2（x≥0，y≥0）上找一点（x0，y0），过此点作一切线与x轴、y轴围成一个三角形．（1）求三角形面积S的最小值及相应的x0；（2）当三角形面积达到最小值时，求此三角形的外接圆方程．
发布时间：2025-09-08 08:16:39
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答案：（1）y'=-2x，则过点（x0，y0）的切线方程为y-（1-x02）=-2x0（x-x0），与x、y轴围成的三角形面积为S=f(x0)=
(
2x0 
)，则S′=
(3
2-
)，令S'=0得x0=
当x∈(0，
)时，S'＜0，f（x0）单调递减； 当x∈(
，1)时，S'＞0，f（x0）单调递增．∴S的最小值为
，此时x0=
（7分）（2）当三角形面积最小时，切线方程为y=-
x 
，切线与x、y轴的交点分别为A(
，0)、B(0，
)，∴此三角形的外接圆圆心为(
，
)，半径为
，∴所求外接圆方程(x-
)2 (y-
)2=
（12分）
( 2x0 )，则S′=(3 2-)，令S'=0得x0=当x∈(0，)时，S'＜0，f（x0）单调递减； 当x∈(，1)时，S'＞0，f（x0）单调递增．∴S的最小值为，此时x0=（7分）（2）当三角形面积最小时，切线方程为y=-x ，切线与x、y轴的交点分别为A(，0)、B(0，)，∴此三角形的外接圆圆心为(，)，半径为，∴所求外接圆方程(x-)2 (y-)2=（12分）
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