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如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s, (1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)何时△PBQ是直角三角形? (3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.

如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边A
B、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s, (1)连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中,∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; (2)何时△PBQ是直角三角形? (3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线A
B、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数.

发布时间:2025-03-04 21:59:20
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答案:(1)∠CMQ=60°不变. ∵等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60° 又由条件得AP=BQ, ∴△ABQ≌△CAP(SAS), ∴∠BAQ=∠ACP, ∴∠CMQ=∠ACP ∠CAM=∠BAQ ∠CAM=∠BAC=60°. (2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4-t ①当∠PQB=90°时, ∵∠B=60°, ∴PB=2BQ,得4-t=2t,t= 4 3 ; ②当∠BPQ=90°时, ∵∠B=60°, ∴BQ=2BP,得t=2(4-t),t= 8 3 ; ∴当第 4 3 秒或第 8 3 秒时,△PBQ为直角三角形. (3)∠CMQ=120°不变. ∵在等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60° ∴∠PBC=∠ACQ=120°, 又由条件得BP=CQ, ∴△PBC≌△QCA(SAS) ∴∠BPC=∠MQC 又∵∠PCB=∠MCQ, ∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°
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