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已知：如图，在▱ABCD中，∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

已知：如图，在▱ABCD中，∠AD
C、∠DAB的平分线D
F、AE分别与线段BC相交于点
F、E，DF与AE相交于点G．（1）求证：AE⊥DF；（2）若AD=10，AB=6，AE=4，求DF的长．

发布时间：2025-04-02 10:10:58

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答案：（1）证明：在▱ABCD中AB∥CD，∴∠ADC ∠DAB=180°．∵DF、AE分别是∠ADC、∠DAB的平分线，∴∠ADF=∠CDF= 1 2 ∠ADC，∠DAE=∠BAE= 1 2 ∠DAB，∴∠ADF ∠DAE= 1 2 （∠ADC ∠DAB）=90°，∴∠AGD=90°，∴AE⊥DF；（2）过点D作DH∥AE，交BC的延长线于点H，则四边形AEHD是平行四边形，且FD⊥DH．∴DH=AE=4，EH=AD=10．在▱ABCD中AD∥BC，∴∠ADF=∠CFD，∠DAE=∠BEA．∴∠CDF=∠CFD，∠BAE=∠BEA．∴DC=FC，AB=EB．在▱ABCD中，AD=BC=10，AB=DC=6，∴CF=BE=6，BF=BC-CF=10-6=4．∴FE=BE-BF=6-4=2，∴FH=FE EH=12，在Rt△FDH中，DF= 12

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