已知a为常数,函数f(x)=ex－2-ax.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1<x2).①求实数a的取值范围;②证明:x1 x2>2.
已知a为常数,函数f(x)=ex－2-ax.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2(x1
发布时间：2025-05-22 17:52:28
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答案：解:(1) f′(x)=ex－2-a.当a≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞, ∞)上单调递增.当a>0时,由f′(x)=ex－2-a=0,得x=2 ln a.若x>2 ln a,则f′(x)>0,函数f(x)在(2 ln a, ∞)上单调递增;若x<2 ln a,则f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,2 ln a)上单调递减.(2)①由(1)知,当a≤0时,f(x)单调递增,没有两个不同的零点;当a>0时,f(x)在x=2 ln a处取得极小值,由f(2 ln a)=eln a-a(2 ln a)<0,得a>
.所以实数a的取值范围为
.②证明:由ex－2-ax=0,得x-2=ln(ax)=ln a ln x,即x-2-ln x=ln a.所以x1-2-ln x1=x2-2-ln x2=ln a.令g(x)=x-2-ln x,则g′(x)=1-
.当x>1时,g′(x)>0;当02,只需证x2>2-x1>1.因为g(x)在(1, ∞)上单调递增,所以只需证g(x2)>g(2-x1).因为g(x1)=g(x2),只需证g(x1)>g(2-x1),即证g(x1)-g(2-x1)>0.令h(x)=g(x)-g(2-x),0
=
[x (2-x)]
>2,所以h′(x)<0,即h(x)在(0,1)上单调递减.所以h(x)>h(1)=0,即g(x1)-g(2-x1)>0,所以x1 x2>2成立.
.所以实数a的取值范围为.②证明:由ex－2-ax=0,得x-2=ln(ax)=ln a ln x,即x-2-ln x=ln a.所以x1-2-ln x1=x2-2-ln x2=ln a.令g(x)=x-2-ln x,则g′(x)=1-.当x>1时,g′(x)>0;当0 =[x (2-x)]>2,所以h′(x)<0,即h(x)在(0,1)上单调递减.所以h(x)>h(1)=0,即g(x1)-g(2-x1)>0,所以x1 x2>2成立.
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