已知函数f(x)=ax lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=x2-2x 2，若对任意x1∈(0， ∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。
已知函数f(x)=ax lnx(a∈R)，(1)若a=2，求曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)=x2-2x 2，若对任意x1∈(0， ∞)，均存在x2∈[0，1]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范围。
发布时间：2025-03-02 02:20:47
，f′(1)=2 1=3，故曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为3；(2)
，①当a≥0时，由于x＞0，故ax 1＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0， ∞)；②当a＜0时，由f′(x)=0，得
，在区间
上，f′(x)＞0，在区间
上，f′(x)＜0，所以，函数f(x)的单调递增区间为
，单调递减区间为
；(3)由题意知，转化为
(其中x1∈(0， ∞)，x2∈[0，1])，由(2)知，当a≥0时，f′(x1)＞0，f(x1)在(0， ∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意；当a＜0时，f(x1)在
上单调递增，在
上单调递减，故f(x1)的极大值即为最大值，f（x1）max=
，所以
，解得
。
