已知函数f（x）=2x2 3（a2 a）lnx-8ax（Ⅰ）若x=3是f（x）的一个极值点求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f（x）′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．
已知函数f（x）=2x2 3（a2 a）lnx-8ax（Ⅰ）若x=3是f（x）的一个极值点求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在其导函数f（x）′的单调区间上也是单调的，求a的取值范围．
发布时间：2025-08-08 16:48:16
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答案：解：（Ⅰ）f′（x）=4x 
-8a=
=
，∵x=3是f（x）的一个极值，∴f′（3）=4（3-a）2-a2 3a=0，解得，a=4或a=3；而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，当a=4时，满足条件，故a=4．（II）f′（x）=4x 
-8a=
设g（x）=4x2-8ax 3（a2 a），△=16（a2-3a），设g（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），（1）当△≤0，即0≤a≤3时，∴f（x）不单调，不满足题意；（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，①若x1＜0＜x2，则
（a2 a）＜0，即-1＜a＜0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2， ∞）上单调递增，而f′（x）在（0， ∞）上单调递增，故不满足题意，②若x1＜x2≤0，则
，解得a≤-1，此时，f（x）在（0， ∞）上单调递增，满足题意；③若0＜x1＜x2，则
，则a＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2， ∞）上单调递增，不满足题意；综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]．
-8a==，∵x=3是f（x）的一个极值，∴f′（3）=4（3-a）2-a2 3a=0，解得，a=4或a=3；而当a=3时，f′（x）≥0，故不成立，当a=4时，满足条件，故a=4．（II）f′（x）=4x -8a=设g（x）=4x2-8ax 3（a2 a），△=16（a2-3a），设g（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），（1）当△≤0，即0≤a≤3时，∴f（x）不单调，不满足题意；（2）当△＞0，即a＜0或a＞3时，①若x1＜0＜x2，则（a2 a）＜0，即-1＜a＜0，此时，f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2， ∞）上单调递增，而f′（x）在（0， ∞）上单调递增，故不满足题意，②若x1＜x2≤0，则，解得a≤-1，此时，f（x）在（0， ∞）上单调递增，满足题意；③若0＜x1＜x2，则，则a＞0，此时，f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2， ∞）上单调递增，不满足题意；综上所述，a的取值范围为（-∞，-1]．
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