已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，过点B作BD⊥AC，垂足为D．求证：PE PF=BD．
已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，P是底边BC上任意一点，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，过点B作BD⊥AC，垂足为
D、求证：PE PF=B
D、
发布时间：2025-03-08 09:03:16
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答案：证明：过P作PG⊥BD于G， ∵BD⊥AC，PF⊥AC， ∴PG ∥ DF，GD ∥ PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴四边形PGDF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）； 又∵∠GDF=90°， ∴四边形PGDF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴PF=GD（矩形的对边相等）① ∵四边形PGDF是矩形 ∴PG ∥ DF，即PG ∥ AC， ∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等）， 又∵AB=AC（已知） ∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等）， ∴∠BPG=∠ABC（等量代换） ∵在△BPE与△PBG中， ∠PEB=∠BGP ∠BPG=∠ABC BP=PB ， ∴△BPE≌△PBG（AAS） ∴PE=BG② ① ②：PE PF=BG GD 即PE PF=BD．
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