已知直线y=kx 1和双曲线3x2-y2=1相交于两点A，B；（1）求k的取值范围；（2）若以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值．
已知直线y=kx 1和双曲线3x2-y2=1相交于两点A，B；（1）求k的取值范围；（2）若以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值．
发布时间：2025-04-01 11:29:03
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答案：解：设交点A（x1，y1），B（x2，y2），由
消去y，得（3-a2）x2-2ax-2=0，（1）由于直线与双曲线相交，∴
∴a2＜6且a2≠3．∴a的取值范围为
，且
．（2）由韦达定理，得x1 x2=
，①
，②∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴
，∴
=x1x2 y1y2=0，即x1x2 （ax1 1）（ax2 1）=0，整理得（a2 1）x1x2 a（x1 x2） 1=0③将①②代入③，并化简得
=0，∴a=±1，经检验，a=±1满足题目条件，故存在实数a满足题目条件．
消去y，得（3-a2）x2-2ax-2=0，（1）由于直线与双曲线相交，∴∴a2＜6且a2≠3．∴a的取值范围为，且．（2）由韦达定理，得x1 x2=，①，②∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴，∴=x1x2 y1y2=0，即x1x2 （ax1 1）（ax2 1）=0，整理得（a2 1）x1x2 a（x1 x2） 1=0③将①②代入③，并化简得=0，∴a=±1，经检验，a=±1满足题目条件，故存在实数a满足题目条件．
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