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已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

发布时间：2025-03-19 21:00:38

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答案：（1）见解析；（2）AP的长为或6. 试题分析：（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC. （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP. 试题解析：（1）证明：∵∠A ∠APQ=90°，∠A ∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC. （2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴ ，即，解得： . ∴ . （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P. ∵∠BQP ∠AQB=90°，∠A ∠P=90°，∴∠AQB=∠A.∴BQ=AB. ∴AB=BP，点B为线段AB中点. ∴AP=2AB=2×3=6. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P． （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．