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证明：任何群都不能是两个真子群的并．

发布时间：2025-04-04 00:23:39

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答案：反证法．假设群G是两个真子群HK的并集即G=H∪K．由于HK是G的真子群故有ab∈G使但由于G=H ∪K从而a∈H．b∈K．又因为ab∈G=H ∪ K故必 ab∈H 或 ab∈K．若ab=h∈H则由于H是子群故b=a -1 h∈H矛盾；若ab=k∈K则同理a=kb -1 ∈K也矛盾．因此原假设不成立即G不能是二真子群的并集．反证法．假设群G是两个真子群H,K的并集,即G=H∪K．由于H,K是G的真子群,故有a,b∈G使但由于G=H∪K,从而a∈H．b∈K．又因为ab∈G=H∪K,故必ab∈H或ab∈K．若ab=h∈H,则由于H是子群,故b=a-1h∈H,矛盾；若ab=k∈K,则同理a=kb-1∈K,也矛盾．因此,原假设不成立,即G不能是二真子群的并集．

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