直线l与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥OB．证明：直线l过定点．
直线l与抛物线y2=2x相交于
A、B两点，O为抛物线的顶点，若OA⊥O
B、证明：直线l过定点．
发布时间：2025-09-17 08:14:48
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答案：证明：设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（I）当直线l有存在斜率时，设直线方程为y=kx b，显然k≠0且b≠0．（2分）联立方程得：
消去y得k2x2 （2kb-2）x b2=0由题意：x1x2=
y1y2=(kx1 b)(kx2 b)=
（5分）又由OA⊥OB得x1x2 y1y2=0，（7分）即
=0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0联立方程得：
解得y=±
，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2 y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
消去y得k2x2 （2kb-2）x b2=0由题意：x1x2=y1y2=(kx1 b)(kx2 b)=（5分）又由OA⊥OB得x1x2 y1y2=0，（7分）即 =0，解得b=0（舍去）或b=-2k（9分）故直线l的方程为：y=kx-2k=k（x-2），故直线过定点（2，0）（11分）（II）当直线l不存在斜率时，设它的方程为x=m，显然m＞0联立方程得：解得y=±，即y1y2=-2m又由OA⊥OB得x1x2 y1y2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍去）或m=2可知直线l方程为：x=2，故直线过定点（2，0）综合（1）（2）可知，满足条件的直线过定点（2，0）．
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