设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求 |PA| d的最小值;(2)若B(3,2),求 |PB| |PF|的最小值.
设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求 |PA| d的最小值;(2)若B(3,2),求 |PB| |PF|的最小值.
发布时间：2025-08-14 20:36:37
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答案：解:(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由抛物线的定义,知 |PF|=d,于是问题转化为求 |PA| |PF|的最小值.如图(1)所示,连接AF,交抛物线于点P,则 |PA| d的最小值为
=
.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2
,因为2
>2,所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图(2)所示).由抛物线的定义,知 |P1Q|=|P1F|,则 |PB| |PF|≥|P1B| |P1Q|=|BQ|=3 1=4.即 |PB| |PF|的最小值为4.[C 拓展探究]
=. (2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2,因为2>2,所以点B在抛物线内部.自点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图(2)所示).由抛物线的定义,知 |P1Q|=|P1F|,则 |PB| |PF|≥|P1B| |P1Q|=|BQ|=3 1=4.即 |PB| |PF|的最小值为4.[C 拓展探究]
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